Nos exercícios 11-14, use os valores tabulados do integrando para estimar a integral com (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson com n = 8 passos. Arredonde suas respostas para cinco casas decimais. Depois (c) determine o valor exato da integral e o erro na aproximação para E T ou E S , como for apropriado.

13. ∫ - π 2 π 2 3 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 d t

Passo 1

Falaaaa... beleza?

Nessa questão vamos precisar da regra do trapézio, que para fazer a aproximação para ∫ a b f x d x ,   usamos:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Também da regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

Os y ' são os valores de f nos pontos da partição

x 0 = a , x 1 = a + Δ x ,   x 2 = a + 2 Δ x , … , x n - 1 = a + n - 1 Δ x , x n = b ,

Onde Δ x = b - a n .

Passo 2

Ohhh... repara que:

Δ x = b - a n

Δ x = π 2 - - π 2 8

Δ x = π 8 = 0,39270

Que é exatamente o intervalo dos valores que são dados na tabela... Então já temos os valores de tudinho. Só precisamos jogar nas fórmulas.

a) Para a regra do trapézio:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

T = 0 , 39270 2 0,0 + 2 0 , 99138 + 2 1,26906 + 2 1,05961 + 2 0 , 75 + 2 0,48 821 + 2 0 , 28946 + 2 0 , 13429 + 0,0

T = 1,95644

Lembrando que ele pediu com cinco casas decimais, ok?

Passo 3

b) E agora usando a regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

S = 0,39270 3 0,0 + 4 0,99138 + 2 1,26906 + 4 1,05961 + 2 0,75 + 4 0,48821 + 2 0,28946 + 4 0,13429 + 0,0

S = 2,00421

Passo 4

Agora é o grosso da questão. Bora resolver essa integral na raça.

c) Usando o método da substituição simples, chamamos:

u = 2 + sen ⁡ t

d u = cos ⁡ t d t

→ cos ⁡ t d t = d u

Para os limites de integração:

t = - π 2 → u = 1

t = π 2 → u = 3

Então ficamos com:

∫ 1 3 3 u 2 d u = - 3 u 1 3

= - 3 3 - - 3 1

= 2

Então temos que:

∫ - π 2 π 2 3 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 d t = 2

Só falta agora calcular o erro que é só a gente subtrair o valor exato do valor da aproximação.

Para a regra do trapézio:

E T = 2 - 1,95644

E T = 0,0 4356

Para a regra de Simpson:

E S = 2 - 2,00421

E S = 0,00 421

Ufa... acabamos.

Resposta

a) T = 1,95644

b) S = 2,00421

c) ∫ - π 2 π 2 3 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 d t = 2

E T = 0,04356

E S = 0,00421