Nos exercícios 11-14, use os valores tabulados do integrando para estimar a integral com (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson com n = 8 passos. Arredonde suas respostas para cinco casas decimais. Depois (c) determine o valor exato da integral e o erro na aproximação para E T ou E S , como for apropriado.

14. ∫ π 4 π 2 cosec 2 ⁡ y cotg ⁡ y d y

Passo 1

Falaaaa... beleza?

Nessa questão vamos precisar da regra do trapézio, que para fazer a aproximação para ∫ a b f x d x ,   usamos:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Também da regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

Os y ' são os valores de f nos pontos da partição

x 0 = a , x 1 = a + Δ x ,   x 2 = a + 2 Δ x , … , x n - 1 = a + n - 1 Δ x , x n = b ,

Onde Δ x = b - a n .

Passo 2

Ohhh... repara que:

Δ x = b - a n

Δ x = π 2 - π 4 8

Δ x = π 32 = 0,09817

Que é exatamente o intervalo dos valores que são dados na tabela... Então já temos os valores de tudinho. Só precisamos jogar nas fórmulas.

a) Para a regra do trapézio:

T = Δ x 2 y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

T = 0,09817 2 2 , 0 + 2 1,51606 + 2 1,18237 + 2 0,93998 + 2 0,75402 + 2 0 , 60145 + 2 0 , 46364 + 2 0 , 31688 + 0,0

T = 0 , 66504

Lembrando que ele pediu com cinco casas decimais, ok?

Passo 3

b) E agora usando a regra de Simpson:

S = Δ x 3 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 2 y n - 2 + 4 y n - 1 + y n

S = 0,09817 3 2,0 + 4 1,51606 + 2 1,18237 + 4 0,93998 + 2 0,75402 + 4 0,60145 + 2 0,46364 + 4 0,31688 + 0,0

S = 0 , 66420

Passo 4

Agora é o grosso da questão. Bora resolver essa integral na raça.

c) Usando o método da substituição simples, chamamos:

u = cot ⁡ y

d u = - csc 2 ⁡ y   d y

→ csc 2 ⁡ y d y = - d u

Para os limites de integração:

y = π 4 → u = 1

y = π 2 → u = 0

Então ficamos com:

∫ 1 0 - u d u = - u 3 2 3 2 1 0

= - 2 u 3 2 3 1 0

= 2 3

Então temos que:

∫ π 4 π 2 cosec 2 ⁡ y cotg ⁡ y d y = 2 3

Só falta agora calcular o erro que é só a gente subtrair o valor exato do valor da aproximação.

Para a regra do trapézio:

E T = 2 3 - 0 , 66504

E T = 0,0 016 3

Para a regra de Simpson:

E S = 2 3 - 0,66420

E S = 0,00 247

Ufa... acabamos.

Resposta

a) T = 0,66504

b) S = 0,66420

c) ∫ π 4 π 2 cosec 2 ⁡ y cotg ⁡ y d y = 2 3

E T = 0,00163

E S = 0,00247