Nos exercícios 1-12, calcule T N   e M N para o valor indicado de N.

7. ∫ 0 π / 4 sec ⁡ x   d x ,   N = 6

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos lembrar que a aproximação numérica da regra do ponto médio afirma:

∫ a b f x   d x ≈ M N f = Δ X f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde c j = a + j - 1 2 Δ X e Δ X = b - a N . Lembremos também que a aproximação numérica da regra trapezoidal afirma

∫ a b f x   d x ≈ 1 2 Δ X y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ X = b - a N e y j = f a + j Δ X .

Passo 2

Usando a regra do ponto médio com N = 6 , nós temos que

∫ a b f x   d x ≈ M 6 f = Δ X f c 1 + f c 2 + f c 3 + f c 4 + f c 5 + f c 6

E o Δ X pode ser encontrado por

Δ X = b - a N = π 4 - 0 6 = π 24

Vamos encontrar os valores de c j = a + j - 1 2 Δ X e f ( c j )

c 1 = 0 + 1 - 1 2 π 24 = π 48 → f π 48 = sec ⁡ π 48 = 1,0021

c 2 =   0 + 2 - 1 2 π 24 = π 16 → f π 16 = sec ⁡ π 16 = 1,0 196

c 3 = 0 + 3 - 1 2 π 24 = 5 π 48 → f 5 π 48 = sec ⁡ 5 π 48 = 1,0 560

c 4 = 0 + 4 - 1 2 π 24 = 7 π 48 → f 7 π 48 = sec ⁡ 7 π 48 = 1 , 1150

c 5 = 0 + 5 - 1 2 π 24 = 9 π 48 → f 9 π 48 = sec ⁡ 9 π 48 = 1 , 2027

c 6 = 0 + 6 - 1 2 π 24 = 11 π 48 → f 11 π 48 = sec ⁡ 11 π 48 = 1 , 3301

Agora, substituindo os valores de f ( c j ) e Δ X na expressão temos:

∫ a b f x   d x ≈ M 6 f = π 24 1,0021 + 1,0196 + 1,0560 + 1,1150 + 1,2027 + 1,3301

Logo,

M 6 f = π 24 6,7255

Portanto, nós temos que

M 6 f = 0,8804

Passo 3

Agora, usando a regra dos trapézios para N = 6 , nós temos que

∫ 0 π 4 f x   d x ≈ T 6 f = 1 2 Δ X y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + 2 y 5 + y 6

Como nós já sabemos o valor de Δ X = π 24 . Portanto, vamos encontrar os valores de y j = f ( a + j Δ X )

y 0 = f 0 + 0 π 24 = f 0 = sec ⁡ 0 = 1

y 1 = f 0 + 1 π 24 = f π 24 = sec ⁡ π 24 = 1,009

y 2 = f 0 + 2 π 24 = f 2 π 24 = sec ⁡ 2 π 24 = 1 , 0354

y 3 = f 0 + 3 π 24 = f 3 π 24 = sec ⁡ 3 π 24 = 1 , 0824

y 4 = f 0 + 4 π 24 = f 4 π 24 = sec ⁡ 4 π 24   = 1 , 1960

y 5 = f 0 + 5 π 24 = f 5 π 24 = sec ⁡ 5 π 24 = 1 , 2605

y 6 = f 0 + 6 π 24 = f 6 π 24 = sec ⁡ 6 π 24 = 1 , 4142

Agora, substituindo os valores de Δ X e y j na expressão nós temos que:

∫ 0 π 4 f x   d x ≈ T 6 f = 1 2 π 24 1 + 2 1,009 + 2 1,0353 + 2 1,0824 + 2 1,0196 + 2 1,2605 + 1,4142 .

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

T 6 f = π 48 13,2278

Logo,

T 6 f = 0,8658

Resposta

M 6 f = 0,8804

T 6 f = 0,8658