Nos exercícios 1-12, calcule T N   e M N para o valor indicado de N.

6. ∫ - 2 - 1 d x x ,   N = 5

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A regra do trapézio ( T N ) aproxima ∫ a b f x   d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 , x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , … , ( x N , y N ) com segmentos de reta. A área do j-ésimo trapézio é igual a

1 2 Δ x ( y j - 1 + y j )

A aproximação para ∫ a b f x   d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a 2 e y j = f ( x j ) . Agora, vamos calcular a integral!

Passo 2

Temos que f x = x 3 e os termos a = 1 ,   b = 4 , logo, o Δ x = b - a N é igual a

Δ x = - 1 - ( - 2 ) 5 = 1 5 = 0,2

Usando a equação de T N para T 5 , nós temos que

T 5 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + y 5

Agora, calculando as coordenadas y j pela equação y j = f ( a + j Δ x ) , nós temos que

y 0 = f - 2 + 0 ( 0,2 ) = f - 2 = - 1 2

y 1 = f - 2 + 1 ( 0,2 ) = f - 1,8 = - 1 1,8

y 2 = f - 2 + 2 0,2 = f - 1,6 = - 1 1,6

y 3 = f - 2 + 3 0,2 = f - 1,4 = - 1 1,4

y 4 = f - 2 + 4 0,2 = f - 1,2 = - 1 1,2

y 5 = f - 2 + 5 0,2 = f - 1 = - 1

Sendo f = 1 x

Passo 3

Substituindo na equação de T N , nós temos que

T 5 = 0,1 - 1 2 + 2 - 1 1,8 + 2 - 1 1,6 + 2 - 1 1,4 + 2 - 1 1,2 - 1

Desenvolvendo os termos, nós temos que

T 5 = 0,1 - 1 2 - 1 0,9 - 1 0,8 - 1 0,7 - 1 0,6 - 1 ≈ 0,1 ( - 6,9563 )

O que dá o valor aproximado

T 5 = - 0,69563

Passo 4

Já a aproximação de ponto médio é dada por

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x , sendo esse o ponto médio de x j - 1 , x j . Com isso, nós temos que

Δ x = - 1 - ( - 2 ) 5 = 1 5 = 0,2

E os termos de c j

f c 1 = f - 2 + 1 - 1 2 0,2 = f - 1,9 = - 1 1,9

f c 2 = f - 2 + 2 - 1 2 0,2 = f ( - 1,7 ) = - 1 1,7

f c 3 = f - 2 + 3 - 1 2 0,2 = f ( - 1 , 5 ) = - 1 1 , 5

f c 4 = f - 2 + 4 - 1 2 0,2 = f ( - 1 , 3 ) = - 1 1 , 3

f c 5 = f - 2 + 5 - 1 2 0,2 = f ( - 1 , 1 ) = - 1 1 , 1

Sendo f = 1 x , com isso, substituindo os resultados na fórmula do ponto médio, nós temos que

M 5 = 0,2 - 1 1,9 - 1 1,7 - 1 1,5 - 1 1,3 - 1 1,1 ≈ 0,2 ( - 3,4595 )

O que dá o valor aproximado de

M 5 = - 0,6919

Resposta

T 5 ≈ - 0,69563

M 5 ≈ - 0,6919