Nos exercícios 1-12, calcule T N   e M N para o valor indicado de N.

3 - ∫ 1 4 x 3   d x ,   N = 6

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A regra do trapézio ( T N ) aproxima ∫ a b f x   d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 , x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , … , ( x N , y N ) com segmentos de reta. A área do j-ésimo trapézio é igual a

1 2 Δ x ( y j - 1 + y j )

A aproximação para ∫ a b f x   d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a 2 e y j = f ( x j ) . Agora, vamos calcular a integral!

Passo 2

Temos que f x = x 3 e os termos a = 1 ,   b = 4 , logo, o Δ x = b - a N é igual a

Δ x = 4 - 1 6 = 3 6 = 1 2

Usando a equação de T N para T 6 , nós temos que

T 6 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + 2 y 5 + y 6

Agora, calculando as coordenadas y j pela equação y j = f ( a + j Δ x ) , nós temos que

y 0 = f 1 = 1 3 = 1

y 1 = f 1 + 1 2 = f 3 2 = 27 8

y 2 = f 1 + 2 1 2 = f 2 = 8

y 3 = f 1 + 3 1 2 = f 5 2 = 125 8

y 4 = f 1 + 4 1 2 = f 3 = 27

y 5 = f 1 + 5 1 2 = f 7 2 = 343 8

y 6 = f 1 + 6 1 2 = f 4 = 64

Sendo f = x 3

Passo 3

Substituindo na equação de T N , nós temos que

T 6 = 1 2 ∙ 1 2 1 + 2 27 8 + 2 8 + 2 125 8 + 2 27 + 2 343 8 + 64

Desenvolvendo os termos, nós temos que

T 6 = 1 4 1 + 27 4 + 16 + 125 4 + 54 + 343 4 + 64 = 1 035 16

O que dá o valor

T 6 = 64,09

Passo 4

Já a aproximação de ponto médio é dada por

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x , sendo esse o ponto médio de x j - 1 , x j . Com isso, nós temos que

Δ x = 4 - 1 6 = 1 2

E os termos de c j

f c 1 = f 1 + 1 4 = 1 25 64

f c 2 = f 1 + 3 4 = 343 64

f c 3 = f 1 + 5 4 = 729 64

f c 4 = f 1 + 7 4 = 1331 64

f c 5 = f 1 + 9 4 = 2197 64

f c 6 = f 1 + 11 4 = 3375 64

Sendo f = x 3 , com isso, substituindo os resultados na fórmula do ponto médio, nós temos que

M 6 = 1 2 125 64 + 343 64 + 729 64 + 1331 64 + 2197 64 + 3375 64   = 1 2 125 + 343 + 729 + 1331 + 2197 + 3375 64

O que dá o valor de

M 6 = 63,28

Resposta

T 6 = 64,69

M 6 = 63,28