Nos exercícios 1-12, calcule T N   e M N para o valor indicado de N.

2. ∫ 0 4 x   d x ,     N = 4  

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Neste exercício, nós temos que f x = x e nós precisamos resolver

  ∫ 0 4 x   d x

Primeiramente, vamos relembrar que a aproximação numérica pela regra do ponto médio é dada por

∫ a b f x   d x ≈ M N f = Δ X f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde c j = a + j - 1 2 Δ X e Δ X = b - a N . Usando a regra do ponto médio para N = 4 , nós temos que

∫ 0 4 f x   d x ≈ M 4 f = Δ X f c 1 + f c 2 + f c 3 + f c 4 ∙ 1

Vamos encontrar o valor de Δ X .

Δ X = b - a N = 4 - 0 4 = 1

Passo 2

Agora, vamos encontrar os valores de c j = a + j - 1 2 Δ X e f ( c j ) , com isso

c 1 = 0 + 1 - 1 2 ∙ 1 = 0,5 → f 0,5 = 0,5 = 0,7071

c 2 = 0 + 2 - 1 2 ∙ 1 = 1,5 → f 1,5 = 1,5 = 1,2247

c 3 = 0 + 3 - 1 2 ∙ 1 = 2 , 5 → f 2 , 5 = 2 , 5 = 1 , 5811

c 4 = 0 + 4 - 1 2 ∙ 1 = 3 , 5 → f 3 , 5 = 3 , 5 = 1,8 708

Agora, substituindo os valores de f ( c j ) e Δ X na expressão de M 4 f temos

∫ 0 4 f x   d x ≈ M 4 f = 1 0,7071 + 1,2247 + 1,5811 + 1,8708 = 5,3837

Portanto, usando a aproximação numérica da Regra do Ponto Médio com N=4 temos que:

∫ 0 4 f x   d x ≈ M 4 f = 5,3837

Passo 3

Agora, vamos usar a regra do trapézio para N = 4 , a regra do trapézio é dada por

∫ a b f x   d x ≈ T N = 1 2 Δ X y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ X = b - a N e y j = f a + j Δ X , como já sabemos Δ X = 1 , agora, vamos encontrar os valores de y j = f ( a + j Δ X ) , logo,

y 0 = f 0 + 0 1 = f 0 = 0 = 0

y 1 = f 0 + 1 1 = f 1 = 1 = 1

y 2 = f 0 + 2 1 = f 2 = 2 = 1.4142

y 3 = f 0 + 3 1 = f 3 = 3 = 1,7321

y 4 = f 0 + 4 1 = f 4 = 4 = 2

Com isso, nós temos o seguinte resultado

∫ 0 4 f x   d x ≈ T 4 f = 1 2 Δ X y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + y 4

E substituindo os valores, nós temos que

∫ 0 4 f x   d x ≈ T 4 f = 1 2 1 0 + 2 1 + 2 1,4142 + 2 1,7321 + 2

Desenvolvendo esses termos, nós temos que

∫ 0 4 f x   d x ≈ T 4 f = 0,5 0 + 2 + 2,8284 + 3,4642 + 2

Fazendo a soma, nós temos que

∫ 0 4 f x   d x ≈ T 4 f = 0,5 10,2926 = 5,146 3  

Portanto, usando a aproximação numérica da regra trapezoidal com N = 4 , temos que

∫ 0 4 f x   d x ≈ T 4 f = 5,1463

Resposta

M 4 = 5,3837

T 4 = 5,1463