Nos exercícios 1-12, calcule T N   e M N para o valor indicado de N.

1 - ∫ 0 2 x 2   d x ,   N = 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos definir algumas coisas primeiramente, a regra do trapézio ( T N ) aproxima ∫ a b f x   d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 , x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , … , ( x N , y N ) com segmentos de reta. A área do j-ésimo trapézio é igual a

1 2 Δ x ( y j - 1 + y j )

A aproximação para ∫ a b f x   d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a 2 e y j = f ( x j ) . Agora, vamos calcular a integral!

Passo 2

Temos que f x = x 2 e os termos a = 0 ,   b = 2 , logo, o Δ x = b - a N é igual a

Δ x = 2 - 0 4 = 1 2

Usando a equação de T N para T 4 , nós temos que

T 4 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + y 4

Agora, calculando as coordenadas y j pela equação y j = f ( a + j Δ x ) , nós temos que

y 0 = f 0 = 0

y 1 = f 0 + 1 2 = f 1 2 = 1 4

y 2 = f 0 + 1 = f 1 = 1

y 3 = f 0 + 3 2 = f 3 2 = 9 4

y 4 = f 0 + 2 = f 2 = 4

Sendo f = x 2

Passo 3

Substituindo na equação de T N , nós temos que

T 4 = 1 2 ∙ 1 2 0 + 2 4 + 2 + 2 ∙ 9 4 + 4

Desenvolvendo os termos, nós temos que

T 4 = 1 4 1 2 + 2 + 9 2 + 4 = 11 4

Passo 4

Já a aproximação de ponto médio é dada por

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x , sendo esse o ponto médio de x j - 1 , x j . Com isso, nós temos que

Δ x = 2 - 0 4 = 1 2

E os termos de c j

f ( c 0 ) = 0 + 0 - 1 2 ∙ 1 2 = - 1 4

f c 1 = f 1 4 = 1 16

f c 2 = f 3 4 = 9 16

f c 3 = f 5 4 = 25 16

f c 4 = f 7 4 = 49 16

Sendo f = x 2 , com isso, substituindo os resultados na fórmula do ponto médio, nós temos que

M 4 = 1 2 1 16 + 9 16 + 25 16 + 49 16   = 21 8

Resposta

T 4 = 11 4

M 4 = 21 8