Nos exercícios 1-12, calcule T N e M N para o valor indicado de N.

∫ 0 1 e - x 2   d x ,   N = 6

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A regra dos trapézios T N aproxima a integral ∫ a b f x d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 ,   x 1 , y 1 , … , ( x N , y N ) com segmentos de linha. A área é dada por 1 2 Δ x ( y j - 1 + y j ) . A n-ésima aproximação para ∫ a b f x d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f x j . Agora, nós vamos calcular a dada integral I N = . ∫ 0 1 e - x 2   d x para N = 6 . Nós sabemos que f x = e - x 2 e a = 0 ,   b = 1

Δ x = b - a N = 1 - 0 6 = 1 6

Usando a equação acima

T 5 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + 2 y 5 + y 6

Passo 2

Agora calculando as coordenadas y j pela equação dada y j = f ( a + j Δ x ) , com isso, nós obtemos o seguinte resultado

y 0 = f 0 = e - 0 2 = 1

y 1 = f 1 ∙ 1 6 = e - 1 6 2 = 0,97

y 2 = f 2 ∙ 1 6 = e - 2 6 2 = 0 , 89

y 3 = f 3 ∙ 1 6 = e - 3 6 2 = 0,7 8

y 4 = f 4 ∙ 1 6 = e - 4 6 2 = 0 , 64

y 5 = f 5 ∙ 1 6 = e - 5 6 2 = 0 , 50

y 6 = f 6 ∙ 1 6 = e - 1 2 = 3,68

Substituindo na equação de T N ,

T 6 = 1 10 1 + 2 0,97 + 0,89 + 0,78 + 0 , 64 + 0,50 + 0 , 368

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

T 6 = 1 10 ( 8,928 )  

E, portanto

T 6 = 0,8928

Passo 3

A n-ésima aproximação do ponto médio para ∫ a b f x d x é

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x é o ponto médio de x j - 1 , x j . Do problema podemos extrair que

Δ x = 1 6

E portanto,

f c 1 = f 0 + 1 - 1 2 1 6 = e - 1 12 2 = 0,993

f c 2 = f 0 + 2 - 1 2 1 6 = e - 1 4 2 = 0,939  

f c 3 = f 0 + 3 - 1 2 1 6 = e - 5 12 2 = 0,8 4 1

f c 4 = f 0 + 4 - 1 2 1 6 = e - 7 12 2 = 0,712

f c 5 = f 0 + 5 - 1 2 1 6 = e - 9 12 2 = 0,571

f c 5 = f 0 + 6 - 1 2 1 6 = e - 11 12 2 = 0 , 432

Substituindo estes resultados na fórmula do ponto médio, obtemos a seguinte configuração

M 6 = 1 6 0,993 + 0,939 + 0,841 + 0,712 + 0,571 + 0,432

Com isso,

M 6 = 1 6 4,488 = 0,748

Resposta

T 6 = 0,8928

M 6 = 0,748