Nos exercícios 1-12, calcule T N e M N para o valor indicado de N.

8. ∫ 1 2 ln ⁡ x ,   N = 5

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A regra dos trapézios T N aproxima a integral ∫ a b f x d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 ,   x 1 , y 1 , … , ( x N , y N ) com segmentos de linha. A área é dada por 1 2 Δ x ( y j - 1 + y j ) . A n-ésima aproximação para ∫ a b f x d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f ( x j ) . Agora, nós vamos calcular a dada integral I N = .   ∫ 1 2 ln ⁡ x para N = 5 . Nós sabemos que f x = ln ⁡ x e a = 1 ,   b = 2

Δ x = b - a N = 2 - 1 5 = 1 5

Usando a equação acima

T 5 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + y 5

Passo 2

Agora calculando as coordenadas y j pela equação dada y j = f ( a + j Δ x ) , com isso, nós obtemos o seguinte resultado

y 0 = f 1 = ln ⁡ 1 = 0

y 1 = f 1 + 1 ∙ 1 5 = ln ⁡ 6 5 = 0,182

y 2 = f 1 + 2 ∙ 1 5 = ln ⁡ 7 5 = 0 , 336

y 3 = f 1 + 3 ∙ 1 5 = ln ⁡ 8 5 = 0 , 47

y 4 = f 1 + 4 ∙ 1 5 = ln ⁡ 9 5 = 0 , 588

y 5 = f 1 + 5 ∙ 1 5 = ln ⁡ 10 5 = 0 , 693

Substituindo na equação de T N ,

T 5 = 1 10 0 + 2 0,182 + 0,336 + 0,47 + 0,588 + 0,693

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

T 5 = 1 10 [ 2 1,57658 + 0,69315 ) ]  

E, portanto

T 5 = 0,384

Passo 3

A n-ésima aproximação do ponto médio para ∫ a b f x d x é

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x é o ponto médio de x j - 1 , x j . Do problema podemos extrair que

Δ x = 1 5

E portanto,

f c 1 = f 1 + 1 - 1 2 1 5 = ln ⁡ 11 10 = 0,095

f c 2 = f 1 + 2 - 1 2 1 5 = ln ⁡ 1 3 10 = 0 , 262  

f c 3 = f 1 + 3 - 1 2 1 5 = ln ⁡ 15 10 = 0 , 405

f c 4 = f 1 + 4 - 1 2 1 5 = ln ⁡ 1 7 10 = 0 , 530

f c 5 = f 1 + 5 - 1 2 1 5 = ln ⁡ 1 9 10 = 0 , 641

Substituindo estes resultados na fórmula do ponto médio, obtemos a seguinte configuração

M 5 = 1 5 0,095 + 0,262 + 0,405 + 0,530 + 0,641

Com isso,

M 5 = 1 5 1,936 = 0,387

Resposta

T 5 = 0,384

M 5 = 0,387