Nos exercícios 1-12, calcule T N e M N para o valor indicado de N .

∫ - 2 1 e x 2   d x ,   N = 6

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A regra dos trapézios T N aproxima a integral ∫ a b f x d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 ,   x 1 , y 1 , … , ( x N , y N ) com segmentos de linha. A área é dada por 1 2 Δ x ( y j - 1 + y j ) . A n-ésima aproximação para ∫ a b f x d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f x j . Agora, nós vamos calcular a dada integral I N = . ∫ - 2 1 e x 2   d x para N = 6 . Nós sabemos que f x = e - x 2 e a = - 2 ,   b = 1

Δ x = b - a N = 1 + 2 6 = 3 6 = 1 2 = 0,5

Usando a equação acima

T 6 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + 2 y 5 + y 6

Passo 2

Agora calculando as coordenadas y j pela equação dada y j = f ( a + j Δ x ) , com isso, nós obtemos o seguinte resultado

y 0 = f - 2 = e 4

y 1 = f - 2 + 0,5 = e 2,25

y 2 = f - 2 + 1 = e 1

y 3 = f - 2 + 1,5 = e 0,25

y 4 = f - 2 + 2 = e 0

y 5 = f - 2 + 2,5 = e 0,25

y 6 = f ( - 2 + 3 ) = e 1

Substituindo na equação de T N ,

T 6 = 1 4 e 4 + 2 e 2,25 + e 1 + e 0,25 + e 0 + e 0,25 + e 1

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

T 6 = 1 4 ( 88,641 )  

E, portanto

T 6 = 22,216

Passo 3

A n-ésima aproximação do ponto médio para ∫ a b f x d x é

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x é o ponto médio de x j - 1 , x j . Do problema podemos extrair que

Δ x = 1 2

Substituindo estes resultados na fórmula do ponto médio, obtemos a seguinte configuração

M 6 = 1 2 e - 1,75 2 + e - 1,25 2 + e - 0,75 2 + e - 0,25 2 + e 0,25 2 + e 0,75 2

Com isso,

M 6 ≈ 15,8953

Resposta

T 6 ≈ 22,216

M 6 ≈ 15,8953