Nos exercícios 1-12, calcule T N e M N para o valor indicado de N.

9. ∫ 2 3 d x ln ⁡ x ,   N = 5

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A regra dos trapézios T N aproxima a integral ∫ a b f x d x pela área dos trapézios obtida juntando os pontos x 0 , y 0 ,   x 1 , y 1 , … , ( x N , y N ) com segmentos de linha. A área é dada por 1 2 Δ x ( y j - 1 + y j ) . A n-ésima aproximação para ∫ a b f x d x é dada por

T N = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + … + 2 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f x j . Agora, nós vamos calcular a dada integral I N = .   ∫ 2 3 d x ln ⁡ x para N = 5 . Nós sabemos que f x = 1 ln ⁡ x e a = 2 ,   b = 3

Δ x = b - a N = 3 - 2 5 = 1 5

Usando a equação acima

T 5 = 1 2 Δ x y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + 2 y 3 + 2 y 4 + y 5

Passo 2

Agora calculando as coordenadas y j pela equação dada y j = f ( a + j Δ x ) , com isso, nós obtemos o seguinte resultado

y 0 = f 2 = ln ⁡ 2 = 1,442

y 1 = f 2 + 1 ∙ 1 5 = 1 ln ⁡ 11 5 = 1,269

y 2 = f 2 + 2 ∙ 1 5 = 1 ln ⁡ 12 5 = 1,14

y 3 = f 2 + 3 ∙ 1 5 = 1 ln ⁡ 13 5 1 , 04 6

y 4 = f 2 + 4 ∙ 1 5 = 1 ln ⁡ 14 5 = 0 , 971

y 5 = f 2 + 5 ∙ 1 5 = 1 ln ⁡ 15 5 = 0 , 91

Substituindo na equação de T N ,

T 5 = 1 10 1,442 + 2 1 , 268 + 1 , 142 + 1,0 4 6 + 0 , 971 + 0 , 910

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

T 5 = 1 10 [ 11,209 ]  

E, portanto

T 5 = 1,12096

Passo 3

A n-ésima aproximação do ponto médio para ∫ a b f x d x é

M N = Δ x f c 1 + f c 2 + … + f c N

Onde Δ x = b - a N e c j = a + j - 1 2 Δ x é o ponto médio de x j - 1 , x j . Do problema podemos extrair que

Δ x = 1 5

E portanto,

f c 1 = f 2 + 1 - 1 2 1 5 = 1 ln ⁡ 2 1 10 = 1 , 347

f c 2 = f 2 + 2 - 1 2 1 5 = 1 ln ⁡ 2 3 10 = 1,2  

f c 3 = f 2 + 3 - 1 2 1 5 = 1 ln ⁡ 2 5 10 = 1 , 0 94

f c 4 = f 2 + 4 - 1 2 1 5 = 1 ln ⁡ 2 7 10 = 1,007

f c 5 = f 2 + 5 - 1 2 1 5 = 1 ln ⁡ 2 9 10 = 0 , 9 4

Substituindo estes resultados na fórmula do ponto médio, obtemos a seguinte configuração

M 5 = 1 5 1,3478 + 1 , 2 006 + 1 , 0 914 + 1 , 0 068 + 0 , 93923

Com isso,

M 5 = 1 5 5,58583 = 1 , 118

Resposta

T 5 = 1,120

M 5 = 1,118