Nos Exercícios 1-14, determine os valores das funções.

11. f ( x , y )   = ∫ x y ( 2 t - 3 ) d t

  1. f ( 1,2 )
  2. f ( 1,4 )

Passo 1

Essa questão é um pouco diferente das anteriores. Temos que resolver a integral primeiro e, com isso, vamos obter uma função de x e y . Talvez não seja muito fácil de visualizar. Então, temos que notar que

f ( x , y )   = ∫ x y ( 2 t - 3 ) d t = ( t 2 - 3 t ) | x y = x 2 - 3 x - ( y 2 - 3 y ) = x 2 - 3 x - y 2 + 3 y

Agora ficou bem mais fácil de ver que temos uma função de duas variáveis, não é mesmo? Mas para calcular o valor da função nos pontos pedidos, podemos só substituir os valores de x e y direto no limite da integral. Assim, temos

  1. f ( 1,2 ) =   ∫ 1 2 ( 2 t - 3 ) d t   =   [ 2 ⋅ ( 2 ) 2 2   - 3 ⋅ ( 2 ) ]   -   [ 2 ⋅ 1 2 2   - 3 ⋅ ( 1 ) ]   = - 2   - ( - 2 )   = 0  
  2. Passo 2

    Resolvendo esses item da mesma forma, apenas mudando os valores:

  3. f ( 1,4 ) =   ∫ 1 4 ( 2 t - 3 ) d t   =   [ 2 ⋅ ( 4 ) 2 2   - 3 ⋅ ( 4 ) ]   -   [ 2 ⋅ 1 2   - 3 ⋅ ( 1 ) ]   = 4   + 2   =   6  

Resposta

  1. 0
  2. 6