Nos Exercícios 1-14, determine os valores das funções.

13. f(x, y) = x^2 - 2y

  1. f(x + Δx, y)
  2. f(x, y + Δy) - f(x, y) / Δy

Passo 1

Dada a função de duas variáveis f ( x , y )   = x 2   - 2 y , para determinar o valor dessa função só temos que substituir x por x   + Δ x no item (a) e y por   y   +   Δ y no item (b). Depois, manipulamos o resultado até obtermos um resultado mais simplificado.

Assim, temos

  1. f ( x   + Δ x ,   y )   =   ( x   +   Δ x ) 2 - 2 y   =   x 2   +   2 x Δ x   +   Δ x 2   - 2 y
  2. Essa é a expressão mais simplificada nesse caso.

    Passo 2

  3. Neste item, calculamos f ( x   ,   y   +   Δ y ) e depois substituímos em f ( x   ,   y   +   Δ y )   -   f ( x ,   y ) Δ y . Temos

f ( x   ,   y   +   Δ y ) = x 2   -   2   ⋅   ( y   +   Δ y ) = x 2   -   2 y     -   2   Δ y

Então,

f ( x   ,   y   +   Δ y )   -   f ( x ,   y ) Δ y   = x 2   -   2 y     -   2   Δ y     -   x 2   +   2 y Δ y   =     -   2   Δ y Δ y   =   - 2  

Note que a expressão acima é muito parecida com a definição de derivada em relação a y . De fato, só faltou tomarmos o limite Δ y → 0 . Mesmo assim, obtivemos o valor correto para essa derivada.

Resposta

  1. x 2   +   2 x Δ x   +   Δ x 2   - 2 y
  2. - 2