Nos Exercícios 1-14, determine os valores das funções.

14. f ( x , y )   =   3 x y +   y 2  

  1. f ( x   + Δ x ,   y )
  2. f ( x   ,   y   +   Δ y )   -   f ( x ,   y ) Δ y

Passo 1

Tudo tranquilo, pessoal? Nessa questão, temos que substituir x por x   + Δ x no item (a) e y por   y   +   Δ y no item (b). Depois, manipulamos o resultado até obtermos a expressão mais simples possível.

Temos,

  1. f ( x   + Δ x ,   y ) =   3 ⋅ ( x   + Δ x ) ⋅ y +   y 2     = 3 x y   +   3 Δ x y   +   y 2  
  2. Passo 2

  3. Nesse item, temos

f ( x   ,   y   +   Δ y ) = 3   ⋅   x   ⋅   ( y   +   Δ y )   +   (   y   +   Δ y ) 2 = 3 x y     +   3 x Δ y     +   y 2   +   2 y Δ y   +   Δ y 2  

Então, temos

f ( x   ,   y   +   Δ y )   -   f ( x ,   y ) Δ y =   3 x y     +   3 x Δ y     +   y 2   +   2 y Δ y   +   Δ y 2   -   3 x y   -   y 2 Δ y   =   3 x Δ y     +   2 y Δ y   +   Δ y 2   Δ y   =   Δ y   ( 3 x   +   2 y   +   Δ y   ) Δ y  

⇒ f ( x   ,   y   +   Δ y )   -   f ( x ,   y ) Δ y =   3 x   +   2 y   +   Δ y

Nesse caso, quase obtivemos o valor da derivada da função em relação a y , só faltou mesmo tomar o limite Δ y → 0 .

Resposta

  1. 3 x y   +   3 Δ x y   +   y 2
  2. 3 x   +   2 y   +   Δ y