Nos Exercícios 13-20, determine a distância entre o ponto e o plano (veja a figura). A distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e o plano a * x + b * y + c * z + d = 0 é

D = | a*x_0 + b*y_0 + c*z_0 + d | / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

17. (1,0, -1) , 2x - 4y + 3z = 12

Passo 1

Tudo tranquilo, galera? O enunciado da questão já deu a fórmula, os pontos e a equação do plano. Então, só precisamos substituir os dados na fórmula da distância. O ponto em questão é ( 1,0 , - 1 ) , representado em vermelho, na Figura acima. Logo, temos os seguintes valores: x 0 = 1 , y 0 = 0 , z 0 = - 1 .

A equação do plano é 2 x - 4 y + 3 z =   12 ⇒ 2 x - 4 y + 3 z - 12 = 0 (em laranja). Então, podemos identificar os seguintes valores a = 2 , b = - 4 , c = 3 e d = - 12 , comparar a equação do plano dado com a equação geral que representa um plano.

Passo 2

Agora, é só substituir os valores encontrados no passo anterior na fórmula da distância:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 = | 2 ⋅ 1   +   ( - 4 ) ⋅ 0 + 3 ⋅   ( - 1 ) - 12 | 2 2 + ( - 4 ) 2 +   3 2 = |   2     - 3 - 12 | 4   +   16   + 9 = 13 29 =   2,41

Resposta

D = 2,41