Nos Exercícios 13-20, determine a distância entre o ponto e o plano (veja a figura). A distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e o plano a * x + b * y + c * z + d = 0 é

D = |a * x_0 + b * y_0 + c * z_0 + d| / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

16. (3,2, 1) , x - y + 2z = 4

Passo 1

Para resolver essa questão, só precisamos da fórmula da distância entre um ponto e um plano, o ponto e a equação do plano. Tudo isso já foi dado no enunciado. Então beleza, só precisamos substituir os dados na fórmula da distância.

O ponto que queremos é ( 3,2 , 1 ) , representado em vermelho, na Figura acima. Nesse caso, temos os seguintes valores: x 0 = 3 , y 0 = 2 , z 0 = 1 .

Já a equação do plano é x - y + 2 z = 4 ⇒ x - y + 2 z - 4 = 0 (em laranja). A partir dessa equação, podemos identificar os seguintes valores a = 1 , b = - 1 , c = 2 e d = - 4 , apenas comparando a equação do plano dado com a equação geral que representa um plano.

Passo 2

Agora, substituímos os valores encontrados no passo anterior na fórmula da distância. O resultado é:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 = | 1 ⋅ 3   +   ( - 1 ) ⋅ 2   + 1 ⋅ 2   -   4 | 1 2 +   ( - 1 ) 2 +   2 2 = |   3   -   2     +   2   -   4 | 1 +   1   +   4 = 1 6 ≈ 0,41

Resposta

D ≈ 0,41