Nos Exercícios 13-20, determine a distância entre o ponto e o plano (veja a figura). A distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e o plano a*x + b*y + c*z + d = 0 é

D = | a*x_0 + b*y_0 + c*z_0 + d | / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

19. (3,2, -1) , 2*x - 3*y + 4*z = 24

Passo 1

Tudo tranquilo, galera? O enunciado da questão já deu a fórmula, os pontos e a equação do plano. Então, só precisamos substituir os dados na fórmula da distância. O ponto em questão é ( 3,2 , - 1 ) , representado em vermelho, na Figura acima. Logo, temos os seguintes valores: x 0 = 3 , y 0 = 2 , z 0 =   - 1 .

A equação do plano é 2 x - 3 y + 4 z =   24 ⇒ 2 x - 3 y + 4 z - 24 = 0 (em laranja). Então, podemos identificar os seguintes valores a = 2 , b = - 3 , c = 4 e d = - 24 , comparar a equação do plano dado com a equação geral que representa um plano.

Passo 2

Agora, é só substituir os valores encontrados no passo anterior na fórmula da distância:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 = |   2   ⋅   3   +   ( -   3 )   ⋅   2   +   4   ⋅   ( - 1 )   - 24 | 2 2   +   ( - 3 ) 2 + 4 2 = |   6   -   6   -   4   - 24 | 4   +   9   + 16 = 28 29 ≈ 5,20

Resposta

D ≈ 5,20