Nos Exercícios 13-20, determine a distância entre o ponto e o plano (veja a figura). A distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e o plano a*x + b*y + c*z + d = 0 é

D = |a * x_0 + b * y_0 + c * z_0 + d| / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

13. (0,0,0) , 2x + 3y + z = 12

Passo 1

Tudo tranquilo, galera? O enunciado da questão já deu a fórmula, os pontos e a equação do plano. Então, só precisamos substituir os dados na fórmula da distância. O ponto em questão é ( 0,0 , 0 ) , representado em vermelho, na Figura acima. Logo, x 0 = y 0 = z 0 = 0 .

A equação do plano é 2 x + 3 y + z = 12 ⇒ 2 x + 3 y + z - 12 = 0 (em laranja). Então, podemos identificar os seguintes valores a = 2 , b = 3 , c = 1 e d = - 12 , comparar a equação do plano dado com a equação geral que representa um plano.

Passo 2

Agora, é só substituir os valores encontrados no passo anterior na fórmula da distância:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 = | 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 - 12 | 2 2 + 3 2 + 1 2 = 12 4 + 9 + 1 = 12 14 ≈ 3,21

Resposta

D ≈ 3,21