Nos Exercícios 13-20, determine a distância entre o ponto e o plano (veja a figura). A distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e o plano a x + b y + c z + d = 0 é

D = |a*x0 + b*y0 + c*z0 + d| / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

15. (1,5, -4) , 3x - y + 2z = 6

Passo 1

Fala pessoal! Animados para resolver mais uma questão? Já a fórmula, o ponto e a equação do plano, dados pelo enunciado. Agora é só por a mão na massa. O ponto é ( 1,5 , - 4 ) , representado em vermelho, na Figura acima. Assim, temos os seguintes valores: x 0 = 1 , y 0 = 5 , z 0 = - 4 .

A equação do plano é 3 x - y + 2 z = 6 ⇒ 3 x - y + 2 z - 6 = 0 (em laranja). Com isso, identificamos os seguintes valores a = 3 , b = - 1 , c = 2 e d = - 6 , que são obtidos comparando a equação do plano dado com a equação geral que representa um plano.

Passo 2

Substituindo os valores encontrados no passo anterior na fórmula da distância, encontramos:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 = | 3 ⋅ 1 + ( - 1 ) ⋅ 5 + 2 ⋅ ( - 4 )   -   6 | 3 2 + ( - 1 ) 2 + 2 2 = | 3   - 5   -   8   -   6 | 9 +   1   +   4 = 16 14 ≈ 4.28

Resposta

D ≈ 4.28