Nos Exercícios 13-20, determine a distância entre o ponto e o plano (veja a figura). A distância D entre um ponto (x0, y0, z0) e o plano a * x + b * y + c * z + d = 0 é

D = | a * x_0 + b * y_0 + c * z_0 + d | / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

20. (-2,1, 0) , 2x + 5y - z = 20

Passo 1

Tudo tranquilo, galera? O enunciado da questão já deu a fórmula, os pontos e a equação do plano. Então, só precisamos substituir os dados na fórmula da distância. O ponto em questão é ( - 2,1 , 0 )   , em vermelho, na Figura. Logo, temos os seguintes valores: x 0 = - 2 , y 0 = 1 , z 0 =   0 .

A equação do plano é 2 x   + 5 y - z =   20 ⇒ 2 x + 5 y   - z - 20 = 0 (plano colorido). Então, podemos identificar os seguintes valores a = 2 , b = 5 , c = - 1 e d = - 20 , comparar a equação do plano dado com a equação geral que representa um plano.

Passo 2

Agora, é só substituir os valores encontrados no passo anterior na fórmula da distância:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 = | 2   ⋅   ( - 2 )   +   5   ⋅   1   +   ( - 1 )   ⋅   0   - 20 | 2 2 + 5 2 +   ( - 1 ) 2 = | - 4   +   5     - 20 | 4   +   25   +   1 = 19 30 ≈ 3,47

Resposta

D ≈ 3,47