Nos exercícios 13-22, calcule a soma S N da regra de Simpson para o valor indicado de N .

15. ∫ 0 2 d x x 4 + 1 ,   N = 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro vamos lembrar que quando o N é par, a regra de Simpson é dada da seguinte forma:

S N = 1 3 Δ x y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + … + 4 y N - 1 + y N

Onde Δ x = b - a N e y j = f ( x j ) . Nós temos a integral ∫ 0 2 d x x 4 + 1 com o N = 6 , nós sabemos que f x = 1 x 4 + 1 e a = 0 ,   b = 2 , com isso, nós temos que

Δ x = b - a N = 2 - 0 6 = 2 6 = 1 3

Então, vamos usar a seguinte aproximação

S 4 = 1 3 Δ x y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + 4 y 5 + y 6

Onde y j = f ( a + j Δ x ) , com isso, nós obtemos que

y 0 = f 0 = 1

y 1 = f 0 + 1 Δ x = 1 0,5 4 + 1 = 0,94

y 2 = f 0 + 2 Δ x = 1 1 4 + 1 = 0,5

y 3 = f 0 + 3 Δ x = 1 1 , 5 4 + 1 = 0,169

y 4 = f 0 + 4 Δ x = 1 2 4 + 1 = 0,058

y 5 = f 0 + 5 Δ x = 1 2 , 5 4 + 1 = 0,0 2

y 6 = f 0 + 6 Δ x = 1 3 4 + 1 = 0,0 12

Passo 2

Com isso, a aproximação é igual a

S 6 = 1 3 1 2 1 + 4 × 0,94 + 2 × 0,5 + 4 × 0,169 + 2 × 0,058 + 4 × 0,025 + 0,0122

Desenvolvendo um pouco mais os termos,

S 6 = 1 6 1 + 3,76472 + 1 + 0,6596 + 0,1176 + 0,09984 + 0,0122 = 1,109

Portanto,

S 6 = 1,109

Resposta

S 6 = 1,109