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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 16.6 - Ex. 14

Nos exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.

u = x 2 y z ; x = r s ; y = r e s ; z = r e - s

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Então, vamos dar continuidade ao nosso trabalho.

Iremos fazer exatamente a mesma coisa que fizemos na questão anterior, as derivadas parciais de todo mundo primeiro e depois jogar os valores na fórmula.

δ u δ x = 2 x y z

δ u δ y = x 2 z

δ u δ z = x 2 y

δ x δ r = 1 s

δ y δ r = e s

δ z δ r = e - s

δ x δ s = - r s 2

δ y δ s = r e s

δ z δ s = - r e - s

Passo 2

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Lembra dela? Vamos fazer em relação ao r primeiro:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r + δ u δ z × δ z δ r

δ u δ r = 2 x y z 1 s + x 2 z e s + x 2 y e - s

δ u δ r = 2 x y z s + x 2 z e s + x 2 y e - s

Agora fazemos o mesmo pro nosso s:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s + δ u δ z × δ z δ s

δ u δ s = 2 x y z - r s 2 + x 2 z r e s + x 2 y - r e - s

δ u δ s = - 2 x y z r s 2 + x 2 z r e s - x 2 y r e - s

E é isso, já acabamos a questão :) Pode partir pra outra!

Resposta

δ u δ r = 2 x y z s + x 2 z e s + x 2 y e - s

δ u δ s = - 2 x y z r s 2 + x 2 z r e s - x 2 y r e - s