Enunciado

Nos exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.

u = s e n - 1 3 x + y ;     x = r 2 e 5 ;     y = s e n ( r s )

Passo 1

Fala aí, galera! Belezoca? Vamos dar continuidade ao nosso trabalho.

Essa questão exige um pouco mais de atenção porque precisamos relembrar uma regrinha. Lembram como faz o s e n - 1 ? Vem comigo.

s e n - 1 u ' = u ' 1 - u 2  

Lembraram? Então precisamos prestar atenção nisso pras derivadas em relação a u, tá bom?

Isso fica assim:

δ u δ x = 3 1 - 3 x + y 2

δ u δ y = 1 √ ( 1 - 3 x + y 2

δ x δ r = 2 r e 5

δ y δ r = c o s r s   s

δ x δ s =   r 2 e 5

δ y δ s = c o s r s   r

Passo 2

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Lembra dela? Vamos fazer em relação ao r primeiro:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = 3 1 - 3 x + y 2 2 r e 5 + 1 √ ( 1 - 3 x + y 2 c o s r s   s

δ u δ r = 6 r e 5 1 - 3 x + y 2 + c o s r s s   1 - 3 x + y 2

δ u δ r = 6 r e 5 + c o s   r s s   1 - 3 x + y 2  

Agora vamos fazer em relação ao s:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s

δ u δ s = 3 1 - 3 x + y 2 r 2 e 5 + 1 √ ( 1 - 3 x + y 2 c o s r s   r

δ u δ s = 3 r 2 e 5 1 - 3 x + y 2 + c o s r s r   1 - 3 x + y 2

δ u δ r = 3 r 2 e 5 + c o s r s r   1 - 3 x + y 2  

Resposta

δ u δ r = 6 r e 5 + c o s r s s   1 - 3 x + y 2  

δ u δ r = 3 r 2 e 5 + c o s r s r   1 - 3 x + y 2  

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