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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 16.6 - Ex. 8

Nos exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.

u = x y + x z + y z ;     x = r s ;     y = r 2 - s 2 ;     z = r - s 2

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Então, vamos dar continuidade ao nosso trabalho.

Iremos fazer exatamente a mesma coisa que fizemos na questão anterior, as derivadas parciais de todo mundo primeiro e depois jogar os valores na fórmula.

Lembrando que nessa questão nós temos o z, então iremos fazer as parciais pra ele também. Beleza?

δ u δ x = y + z

δ u δ y = x + z

δ u δ z = x + y

δ x δ r = s

δ y δ r = 2 r

δ z δ r = 2 r - 2 s

δ x δ s =   r

δ y δ s = - 2 s

δ z δ s = - 2 r + 2 s

Passo 2

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Lembra dela? Vamos fazer em relação ao r primeiro, mas nessa questão, iremos acrescentar o z, da mesma forma que temos o x e o y.

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r + δ u δ z × δ z δ r

δ u δ r = y + z s + x + z 2 r + x + y 2 s - 2 r

Agora em relação ao s iremos fazer a mesma coisa:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s + δ u δ z × δ z δ s

δ u δ s = y + z r + x + z - 2 + ( x + y ) ( 2 s - 2 r )

δ u δ s = y + z r - 2 x + z + ( x + y ) ( 2 s - 2 r )

É isso, terminamos! Gostou? Agora vamos pra próxima. Quanto mais prática, mais fácil!

Resposta

δ u δ r = y + z s + x + z 2 r + x + y 2 s - 2 r

δ u δ s = y + z r - 2 x + z + ( x + y ) ( 2 s - 2 r )