Enunciado

Nos exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.

u = x 2 + y 2 + z 2 ; x = r s e n ϕ   c o s θ ; y = r s e n ϕ   s e n θ ;     z = r c o s ϕ

Passo 1

Fala aí, galerinha! Como vocês estão?

Iremos fazer exatamente a mesma coisa que fizemos na questão anterior, as derivadas parciais de todo mundo primeiro e depois jogar os valores na fórmula.

δ u δ x = 2 x

δ u δ y = 2 y

δ u δ z = 2 z

δ x δ r = s e n ϕ   c o s θ

δ y δ r = s e n ϕ   s e n θ

δ z δ r = c o s ϕ

δ x δ ϕ = r c o s ϕ   c o s θ

δ y δ ϕ = r c o s ϕ   s e n θ

δ z δ ϕ = - r s e n ϕ

δ x δ θ = - r s e n θ   s e n ϕ

δ y δ θ = r s e n ϕ   c o s θ

δ z δ θ = r c o s θ

Passo 2

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Lembra dela? Vamos fazer em relação ao r primeiro:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r + δ u δ z × δ z δ r

δ u δ r = 2 x s e n ϕ   c o s θ + 2 y s e n ϕ   s e n θ + 2 z ( c o s ϕ )

δ u δ r = 2 ( x   s e n ϕ   c o s θ + y   s e n ϕ   s e n θ + z   c o s ϕ )

Agora vamos fazer a mesma coisa pro ϕ :

δ u δ ϕ = δ u δ x × δ x δ ϕ + δ u δ y × δ y δ ϕ + δ u δ z × δ z δ ϕ

δ u δ ϕ = 2 x r   c o s ϕ   c o s θ + 2 y r   c o s ϕ   s e n θ + 2 z - r s e n ϕ

δ u δ ϕ = 2 r ( x   c o s ϕ   c o s θ + y   c o s ϕ   s e n θ - z   s e n ϕ )  

E agora é fazer tudinho igual pro nosso θ :

δ u δ θ = δ u δ x × δ x δ θ + δ u δ y × δ y δ θ + δ u δ z × δ z δ θ

δ u δ θ = 2 x - r   s e n θ   s e n ϕ + 2 y r   s e n ϕ   s e n θ + 2 z ( r c o s θ )

δ u δ θ = 2 r ( - x   s e n θ   s e n ϕ + y   s e n ϕ   c o s θ + z   c o s ϕ )

E prontinho, já acabamos. Bora pra próxima agora?

Resposta

δ u δ r = 2 ( x   s e n ϕ   c o s θ + y   s e n ϕ   s e n θ + z   c o s ϕ )

δ u δ ϕ = 2 r ( x   c o s ϕ   c o s θ + y   c o s ϕ   s e n θ - z   s e n ϕ )  

δ u δ θ = 2 r ( - x   s e n θ   s e n ϕ + y   s e n ϕ   c o s θ + z   c o s ϕ

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