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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 16.6 - Ex. 11

Nos exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.

u = c o s h   y x   ; x = 2 r 2 s ; y = 6 s e r

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Então, vamos dar continuidade ao nosso trabalho.

Iremos fazer exatamente a mesma coisa que fizemos na questão anterior, as derivadas parciais de todo mundo primeiro e depois jogar os valores na fórmula.

δ u δ x = - y s e n h y x x 2  

δ u δ y = s e n h y x x

δ x δ r = 6 r s

δ y δ r = 6 s e r

δ x δ s =   3 r 2

δ y δ s = 6 e r

Passo 2

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Lembra dela? Vamos fazer em relação ao r primeiro:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = - y s e n h y x x 2 6 r s + s e n h y x x ( 6 s e r )

Agora vamos colocar o s e n h y x em evidência:

δ u δ r = s e n h y x - y 6 r s x 2 + 6 s e r x

Precisamos tirar o MMC do x 2 e do x para acharmos o valor final igual do livro:

δ u δ r = s e n h y x - y 6 r s x 2 + 6 s e r x x 2

δ u δ r = s e n h y x   6 s x 2 ( e r x - y r )

Agora faremos o mesmo para o s:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s

δ u δ s = - y s e n h y x x 2 3 r 2 + s e n h y x x 6 e r

Agora vamos colocar o s e n h y x em evidência:

δ u δ s = s e n h   y x - y 3 r 2 x 2 + 6 e r x

Precisamos tirar o MMC do x 2 e do x para acharmos o valor final igual do livro, como fizemos no passo anterior:

δ u δ s = s e n h   y x - y 3 r 2 x 2 + 6 e r x x 2

δ u δ s = s e n h y x 3 x 2 2 e r x - y r 2

Prontinho! Bem tranquilo, né? Só repetir os passos das outras questões. Agora bora pra próxima?

Resposta

δ u δ r = s e n h y x   6 s x 2 ( e r x - y r )

δ u δ s = s e n h y x 3 x 2 2 e r x - y r 2