Enunciado

Nos exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.

u = x e - y ;   x = t g - 1 r s t ;   y = l n ⁡ ( 3 r s + 5 s t )

Passo 1

E aí, gente! Tudo bem? Vamos continuar nosso trabalho.

Essa questão é uma das que exigem um pouco mais de cuidado pra fazer. Temos e elevado a número negativo, temos t g - 1 e também temos um ln ali. Vamos fazer um passo de cada vez.

Quando precisamos derivar e elevado a algo, a regrinha é a seguinte:

( e u ) ' = e u u '

Então como temos e - y , repete primeiro a notação e depois multiplicamos pela derivada de -y, que é -1. Portanto, ficaremos com - e - y . Deu pra entender?

Agora pensando na t g - 1 , a regrinha nos diz que a derivada dela é:

t g - 1 u = u ' 1 + u 2  

Já com o ln, sabemos que a derivada dele é:

l n ( x ) ' = 1 x

Tendo isso em mente, já podemos partir pras nossas derivadas, tá bom?

Passo 2

Agora é só fazer o mesmo passo que fizemos nas questões anteriores.

δ u δ x = e - y

δ u δ y = - e - y x

δ x δ r = s t 1 + r s t 2

δ y δ r = 3 3 r + 5 t

δ x δ s = r t 1 + r s t 2

δ y δ s = 1 s

δ x δ t = r s 1 + r s t 2

δ y δ t = 5 3 r + 5 t

Passo 3

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Lembra dela? Vamos fazer em relação ao r primeiro:

δ u δ r = δ u δ x × δ x δ r + δ u δ y × δ y δ r

δ u δ r = e - y s t 1 + r s t 2 + - x e - y 3 3 r + 5 t

δ u δ r = s t e - y 1 + r s t 2 - 3 x e - y 3 r + 5 t

Agora vamos fazer o mesmo em relação ao s:

δ u δ s = δ u δ x × δ x δ s + δ u δ y × δ y δ s

δ u δ s = e - y r t 1 + r s t 2 + - x e - y 1 s

δ u δ s = r t e - y 1 + r s t 2 - x e - y s

Agora vamos fazer o mesmo em relação ao t:

δ u δ t = δ u δ x × δ x δ t + δ u δ y × δ y δ t

δ u δ t = e - y r s 1 + r s t 2 + - x e - y 5 3 r + 5 t

δ u δ t = r s e - y 1 + r s t 2 - 5 x e - y 3 r + 5 t

Acabamos! Agora que você já conseguiu entender, vamos pra próxima questão :)

Resposta

δ u δ r = s t e - y 1 + r s t 2 - 3 x e - y 3 r + 5 t

δ u δ s = r t e - y 1 + r s t 2 - x e - y s

δ u δ t = r s e - y 1 + r s t 2 - 5 x e - y 3 r + 5 t

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