Nos Exercícios 1 a 14, calcular a derivada f'(x). Em cada caso subentende-se que x toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f(x) tem significado.

f(x) = tg(x / 2) - cot(x / 2)

Passo 1

Para começar essa questão, vale lembrar que a derivada de uma subtração é a subtração das derivadas, ou seja, quero:

f ' x = t g x 2 ' - c o t x 2 '

Primeiro vamos achar t g x 2 ' . Usaremos a regra da cadeia:

t g x 2 ' = t g ' x 2 x 2 '

t g x 2 ' = s e c 2 x 2     1 2

Passo 2

Agora acharemos c o t x 2 ' ,   u s a r e m o s   a   r e g r a   d a   c a d e i a :

c o t x 2 ' = c o t ' x 2 x 2 '

c o t x 2 ' = - c s c 2 x 2 1 2  

Passo 3

Ou seja, unindo os 2 achados temos:

f ' x = s e c 2 x 2   1 2 +   c s c 2 x 2 1 2 = 1 2 s e c 2 x 2 +   c s c 2 x 2      

f ' x = 1 2 1 c o s 2 x 2 + 1 s e n 2 x 2   = 1 2 c o s 2 x 2 + s e n 2 x 2 cos x 2 ⁡ s e n x 2 2

Veja que temos, no numerador, a relação fundamental da trigonometria, ela nos diz que:

c o s 2 x + s e n 2 x = 1

E no denominador, temos cos x 2 ⁡ s e n x 2 =   1 2 s e n ( x ) , basta lembrar da relação: 2 s e n x c o s x = s e n 2 x ***(TEMOS ISSO AO QUADRADO) ***

Vamos substituir tudo isso na equação:

f ' x = 1 2 1 ( 1 2 s e n x ) 2   → f ' x =   2 s e n 2 x      

Resposta

f ' x =   2 s e n 2 x