Nos Exercícios 1 a 14, calcular a derivada f ' x . Em cada caso subentende-se que x toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f ( x ) tem significado.

f x = s e n c o s 2 x ∙ c o s ⁡ ( s e n 2 x )

Passo 1

Para começar essa questão vale lembrarmos a regra do produto:

( h ∙ g ) ' = h ' g + g ' h

Nesse caso, nossa h x = s e n c o s 2 x   e   g x = c o s ⁡ ( s e n 2 x )    

Passo 2

Logo, basta fazermos h ' x   e   g ' ( x ) :

h ' x = s e n c o s 2 x ' ,   u s a n d o   a   r e g r a   d a   c a d e i a :

h ' x = ( c o s 2 x ) ' ( c o s ⁡ ( c o s 2 x )

h ' x =   - 2 s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) ( cos ⁡ c o s 2 x )

Usaremos que s e n 2 x = 2 s e n x c o s x

h ' x =   - s e n ( 2 x ) ( cos ⁡ c o s 2 x )

Passo 3

g ' x = cos ⁡ s e n 2 x ' ,   u s a n d o   a   r e g r a   d a   c a d e i a :

g ' x = s e n 2 x ' - s e n s e n 2 x

g ' x = 2 c o s x s e n x - s e n s e n 2 x

Usando novamente a igualdade trigonométrica citada acima:

g ' x = - s e n ( 2 x ) ( s e n s e n 2 x )

Sabemos que:

f x = ( h x ∙ g x )

Portanto:

f ' x = ( h x ∙ g x ) '

Agora aplicando a regra do produto:

f ' x = - s e n 2 x cos ⁡ c o s 2 x cos ⁡ s e n 2 x   + ( - s e n 2 x s e n s e n 2 x ) ( s e n c o s 2 x

f ' x =   - s e n 2 x ( cos ⁡ c o s 2 x cos ⁡ s e n 2 x   + s e n s e n 2 x ) ( s e n c o s 2 x ) (*)

Veja que temos, dentro dos parênteses, uma igualdade do tipo:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n a s e n ( b )

Nesse caso, a = c o s 2 x e b = s e n 2 x , vamos substituir em (*):

f ' x =   - s e n 2 x ( c o s ⁡ ( c o s 2 x - s e n 2 x ) )

Usando que cos ⁡ 2 x =   c o s 2 x - s e n 2 x

f ' x =   - s e n 2 x ( c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( 2 x ) )

Resposta

f ' x =   - s e n 2 x ( c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( 2 x ) )