Nos Exercícios 1 a 14, calcular a derivada f ' x . Em cada caso subentende-se que x toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f ( x ) tem significado.

f x =   s e n 2 ( x ) s e n ( x 2 )

Passo 1

Bom, para começar essa questão devemos lembrar a regra do quociente.

h g ' =   h ' g - h g ' g 2               ( * )

Nesse caso:

h x = s e n 2 x e   g x = s e n ( x 2 )

Passo 2

Para começar, acharemos h x .

h x = s e n 2 x   ,   p o r t a n t o :

h ' x = ( s e n 2 x ) '

h ' x = 2 s e n x s e n x ' = 2 s e n x c o s x = s e n 2 x

Agora, acharemos g ' x

g x = s e n x 2 ,   p o r t a n t o :

g ' x = ( s e n ( x 2 ) ) '

Pela regra da cadeia:

g ' ( x ) = s e n ' x 2 x 2 ' = cos ⁡ x 2 2 x

Passo 3

Agora, basta voltarmos em (*).

f ' x =   h g ' =   h ' g - h g ' g 2              

f ' x = s e n 2 x ( s e n x 2 ) - cos ⁡ x 2 2 x ( s e n 2 x   ) ( s e n x 2 ) 2

f ' x = s e n 2 x ( s e n x 2 ) - cos ⁡ x 2 2 x ( s e n 2 x   ) ( s e n x 2 ) 2

Resposta

f ' x = s e n 2 x ( s e n x 2 ) - cos ⁡ x 2 2 x ( s e n 2 x   ) ( s e n x 2 ) 2