Nos Exercícios 1 a 14, calcular a derivada f'(x). Em cada caso subentende-se que x toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f(x) tem significado.

f(x) = sen^n(x) • cos(n*x)

Passo 1

Para começar essa questão vale lembrarmos a regra do produto:

( h ∙ g ) ' = h ' g + g ' h

Nesse caso, f x = ( h ∙ g )

com h x = s e n n x   e   g x = c o s ⁡ ( n x )

Passo 2

Logo, basta acharmos g ' e   h ' .

h x = s e n n x ,   e n t ã o :

h ' x = s e n n x '

Pela regra da cadeia:

h ' x = s e n n x ' = n s e n n - 1 x s e n x '

h ' x = n s e n n - 1 x c o s x

Passo 3

g x = cos ⁡ n x ,   e n t ã o :

g ' x = ( c o s ⁡ ( n x ) ) '

Pela regra da cadeia:

g ' ( x ) = - s e n n x n x '

g ' ( x ) = - n ( s e n n x )

Agora, basta voltarmos...

f x = h ∙ g → f ' x = h ∙ g ' ,   u s a n d o   a   r e g r a   d o   p r o d u t o :

f ' x = h ' x g x + g ' x h ( x )

f ' x = ( n s e n n - 1 x c o s x ) cos ⁡ n x + ( - n ( s e n n x ) ( s e n n x )

Colocando ( n s e n n - 1 x )   e m   e v i d ê n c i a :  

f ' x = n s e n n - 1 x cos ⁡ x c o s n x - s e n x s e n n x

Veja que temos, dentro dos colchetes, uma igualdade do tipo:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n ( b )

Nesse caso, a   =   n x   e   b   =   x   , vamos substituir:

f ' x = n s e n n - 1 x cos ⁡ n x + x = n s e n n - 1 x c o s ⁡ ( x n + 1 )

Resposta

f ' x = x c o s ⁡ ( x n + 1 )