Nos Exercícios 1 a 14, calcular a derivada f'(x). Em cada caso subentende-se que x toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f(x) tem significado.

f(x) = sen[sen[sen(x)]]

Passo 1

Bom, essa questão pode parecer um pouco complicada, porém é basicamente aplicação da regra da cadeia, faremos com calma para ficar tudo claro.

Primeiro vamos relembrar qual é a regra da cadeia:

( h g x ' = h ' g x g ' x             ( * )

N o   n o s s o   c a s o ,   f x =   h g x ,   o n d e

g x = s e n s e n x e   h x = s e n x

Então, temos: f ' x =   ( h g x ' = h ' g x g ' x           ( * * )    

Ou seja, temos que achar g ' x   e   h ' ( g x )

Passo 2

Bom, vamos começar pelo pior dos 2, g ' x .

g x = s e n s e n x

Veja que temos uma composição de funções, ou seja, usaremos a regra da cadeia para determinar g ' x .

g ' x = s e n s e n x '

g ' x = s e n ' s e n x s e n x '

g ' x = cos ⁡ s e n x c o s ⁡ x

Passo 3

Agora vamos achar h ' x .

h x = s e n ( x )

h ' x = s e n x ' = c o s x

P o r é m   q u e r e m o s   h ' ( g x ,   e n t ã o   s ó   i r e m o s   s u b s t i t u i r   x   p o r   g x   e m   h x .

h ' g x = cos ⁡ g x = c o s ⁡ ( s e n s e n x )

Agora, basta substituir na primeira fórmula em (**)

f ' x = c o s ⁡ ( s e n s e n x ) ( cos ⁡ s e n x c o s x  

Resposta

f ' x = c o s ⁡ ( s e n s e n x ) ( cos ⁡ s e n x c o s x