Responde Aí

Enunciado

Nos exercícios de 15 a 18, ache a derivada total d u d t por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x, y e z antes da diferenciação.

u = y e x + x e y ;   x = cos ⁡ t ;   y = s e n   t

Passo 1

E aí, galera! Tranquilinho?? Vamos pra mais uma dose de cálculo.

Essa questão já difere um pouco das outras. Nela é pedido a derivada TOTAL, enquanto nas outras pedia-se a derivada PARCIAL. Sacou a diferença?

O que isso vai mudar na nossa conta? Vamos ver agora!

Primeiro passo é igual, tirar as derivadas de todo mundo, lembrando que agora são as totais.

δ u δ x = y e x + e y

δ u δ y = e x + x e y

d x d t = - s e n   t  

d y d t = cos ⁡ t

Passo 2

Prontinho! Tendo feito isso, agora é só jogar esses valores na nossa fórmula. Só que agora a diferença é que vamos acrescentar a derivada total e que só temos uma variável derivável, que é o t:

d u d t = δ u δ x × d x d t + δ u δ y × d y d t

d u d t = y e x + e y ( - s e n   t ) + e x + x e y cos ⁡ t

d u d t = - y e x   s e n   t - e y   s e n   t + ( e x cos ⁡ t + x e y cos ⁡ t )

Vamos arrumar agora pra poder colocar os e x e e y em evidência:

d u d t = - y e x   s e n   t   + e x cos ⁡ t + - e y   s e n   t + x e y cos ⁡ t

d u d t = e x cos ⁡ t - y   s e n   t + e y ( x cos ⁡ t - s e n   t )

E é isso. Letra a resolvida :)

Passo 3

Aqui na letra b precisaremos tomar um pouquinho de cuidado com as regras, tudo bem? Vou fazer um passo a passo com bastante calma.

Ele quer que faça a substituição antes da diferenciação, então vamos só substituir por enquanto.

u = s e n   t   e cos ⁡ t + cos ⁡ t e s e n   t

Fica assim quando substituímos, beleza? Mas por que o cuidado que eu falei antes? Porque agora vamos pra diferenciação.

Como agora estamos fazendo derivadas TOTAIS, precisamos aplicar as regras pra fazer essas continhas aí.

Quais regras? Regra do produto e a derivada da função exponencial.

Regra do produto: f   g ' = f '   g + f   g '

Derivada da função exponencial = ( e u ) ' = e u   u '  

Sendo assim, fazendo a primeira parte, que é s e n   t   e cos ⁡ t , teremos:

f: s e n   t ' = cos ⁡ t

g: ( e cos ⁡ t ) ' = - e cos ⁡ t   s e n   t

Colocando na fórmula da regra do produto, temos:

cos ⁡ t e cos ⁡ t + s e n   t - e cos ⁡ t   s e n   t

cos ⁡ t e cos ⁡ t - e cos ⁡ t s e n 2 t

Fazendo a segunda parte da equação:

f: ( cos ⁡ t ) ' = - s e n   t

g:   ( e s e n   t ) ' = e s e n   t cos ⁡ t  

Colocando na fórmula da regra do produto, temos:

- s e n   t e s e n   t + cos ⁡ t e s e n   t cos ⁡ t

- s e n   t   e s e n   t + e s e n   t cos 2 ⁡ t

Agora juntando as duas partes:

cos ⁡ t e cos ⁡ t - e cos ⁡ t s e n 2 t + ( - s e n   t   e s e n   t + e s e n   t cos 2 ⁡ t )

e cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n 2 t + e s e n   t cos 2 ⁡ t - s e n   t

E acabamos! Essa foi um pouco cansativa, né? Agora bebe uma água, lava o rosto e bora pra próxima!

Resposta

(a)   d u d t = e x cos ⁡ t - y   s e n   t + e y ( x cos ⁡ t - s e n   t )

(b) e cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n 2 t + e s e n   t cos 2 ⁡ t - s e n   t