Nos Exercícios 15-18, descreva a região R no plano x * y que corresponde ao domínio da função e determine sua imagem.

17. f(x, y) = e^(x/y)

Passo 1

No caso da função f ( x , y )   =   e x / y , a única restrição que temos ocorre em y = 0 pois, nesse caso, teríamos uma indeterminação x / 0 . Fora isso, todos os valores de x e y são permitidos. Então, o domínio da função é { ( x , y )   ∈   ℜ 2 :   y ≠ 0 }

Passo 2

A função e x / y tem valor igual a 1 quando x y → 0 . Isso ocorre tanto para x = 0 quanto para y → ∞ . Além disso, quando x y → - ∞ – o que ocorre quando x → - ∞ e y é mantido constante, – temos e x / y → 0 . Além disso, a medida que x y → ∞ , temos e x / y → ∞ . Com isso, vemos que a função é sempre positiva. Desse modo, a imagem dessa função é { z   ∈   ℜ :       0   ≤       z }

Resposta

Domínio: { ( x , y )   ∈   ℜ 2 :   y ≠ 0 }

Imagem: { z   ∈   ℜ :       0   ≤       z }