Nos Exercícios 15-18, descreva a região R no plano x * y que corresponde ao domínio da função e determine sua imagem.

15. f(x, y) = raiz(16 - x^2 - y^2)

Passo 1

Fala, galerinha! Nessa questão é preciso analisar se há alguma restrição na função ou na equação que a define. Bem, vemos que não foi dada uma restrição, mas a raiz quadrada só existe para números positivos ou iguais a zero. Logo, temos que ter

16   -   x 2   -   y 2     ≥   0   ⇒   x 2   +   y 2   ≤   16 ,

onde somamos   x 2 e   y 2 em ambos os lados da inequação.

x 2   +   y 2   = 16 = 4 2 é a equação de uma circunferência de raio 4 . Então, o domínio será o conjunto que todos os pontos estarão contidos no círculo x 2   +   y 2   ≤   4 2 . Logo,

Domínio: { ( x , y )   ∈   ℜ 2 :   x 2   +   y 2   ≤   4 2 }  

Passo 2

A imagem z corresponde aos valores possíveis da função. No caso dessa função, a imagem representa um semi-círculo ( z 2 = 16 - x 2   -   y 2   ). O valor mínimo de z é o valor mínimo que uma raíz quadrada pode ter, ou seja, 0. Já o valor máximo de z ocorre quando x = y = 0 , ou seja, z = 4 . Assim a imagem da função será o seguinte conjunto:

Imagem:   { z   ∈   ℜ :       0   ≤       z   ≤   4 } .

Resposta

Domínio: { ( x , y )   ∈   ℜ 2 :   x 2   +   y 2   ≤   4 2 }  

Imagem:   { z   ∈   ℜ :     0   ≤       z   ≤   4 } .