Nos Exercícios 15-24, utilize a definição por limite para determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado.

22. f(x) = x^3 + 2x; (1,3)

Passo 1

Fala, galera? Ainda lembram que a inclinação m de um gráfico é dada pela reta reta tangente ao ponto desejado, onde m   =   l i m Δ x → 0 f ( x   + Δ x )   -   f ( x ) Δ x ?

Então, a inclinação da reta tangente de f ( x )   =   x 3   + 2 x será:

m   =   l i m Δ x   → 0 f ( x   +   Δ x )   -   f ( x ) Δ x   = l i m Δ x   → 0 ( x   +   Δ x ) 3   + 2 ( x   +   Δ x )     -   ( x 3   +   2 x ) Δ x   = l i m Δ x   → 0 ( x   +   Δ x ) 3   +   2 Δ x     -   x 3   Δ x    

Note que o Δ x irá a zero quando tomarmos o limite, mas isso não é legal, pois o quociente indo a zero nos dá uma divergência. Então, precisamos expandir os termos do numerador antes de tomarmos o limite, vamos lá?

⇒ ( x   +   Δ x ) 3   + 2   Δ x     -   x 3     =   x 3   +   3 x 2 Δ x   +   3 x Δ x 2   +   Δ x 3   + 2 Δ x   -   x 3   =  

= Δ x   [ 3 x 2     +   3 x Δ x   + Δ x 2   +   2 ]  

Substituindo em m , temos

m   = l i m Δ x   → 0 Δ x   [ 3 x 2     +   3 x Δ x   + Δ x 2   +   2 ] Δ x   = l i m Δ x   → 0 [ 3 x 2     +   3 x Δ x   + Δ x 2   +   2 ]   =   3 x 2   +   2

Passo 2

Já sabemos qual a inclinação da reta tangente de f . Agora precisamos calcular o seu valor no ponto ( 1,3 ) , onde temos que

m   =   3 x 2   +   2   ;   m ( x =   1 )   =   3 ⋅   ( 1 ) 2     + 2   =   3 ⋅   1   + 2   =   5 ,

ou seja, f possui uma inclinação positiva de valor igual a 5 no ponto ( 1,3 ) .

Resposta

m   =   5