Nos Exercícios 15-24, utilize a definição por limite para determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado.

24. f(x) = raiz(x + 1); (8,3)

Passo 1

A inclinação m de um gráfico através da sua reta reta tangente ao ponto desejado é dada por: m   =   l i m Δ x → 0 f ( x   + Δ x )   -   f ( x ) Δ x .

Logo, a inclinação da reta tangente de f ( x )   = x   +   1 , será:

m   =   l i m Δ x   → 0 f ( x   +   Δ x )   -   f ( x ) Δ x   = l i m Δ x   → 0 x   + Δ x   + 1       -     x + 1 Δ x = l i m Δ x   → 0 8   + Δ x   + 1       -     8 + 1 Δ x    

Percebam que ao aplicarmos o limite, tivemos uma indeterminação do tipo 0 0 e para contornarmos esse problema e conseguirmos cancelar o termo Δ x no denominador, precisamos multiplicar e dividir o limite por 8   + Δ x   + 1       +     8 + 1 . Assim, no ponto   ( 8,3 ) , com   x   =   8 , temos que a inclinação da reta tangente será:

m   = l i m Δ x   → 0 8   + Δ x   + 1       -     8 + 1 Δ x ⋅ 8   + Δ x   + 1       +     8 + 1 8   + Δ x   + 1       +     8 + 1 = l i m Δ x   → 0 9   + Δ x     -   9 Δ x ( 9 + Δ x         +     9 ) = l i m Δ x   → 0 Δ x   Δ x ( 9 + Δ x         +     9 )  

m = l i m Δ x   → 0 1   9 + Δ x         +     9 ) = 1 2 9     =   1 2 ⋅   3 = 1 6

Portanto,   m   = 1 6 , em ( 8,3 ) , nos dá uma inclinação nula para f ( x ) .

Resposta

m   = 1 6