Nos Exercícios 15-24, utilize a definição por limite para determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado.

23. f(x) = 2 * raiz(x); (4,4)

Passo 1

Fala, pessoal? Só aplicação da fórmula para a inclinação m de um gráfico através da sua reta reta tangente ao ponto desejado, onde m   =   l i m Δ x → 0 f ( x   + Δ x )   -   f ( x ) Δ x .

Daí, a inclinação da reta tangente de f ( x )   = 2 x no ponto   ( 4,4 ) , onde   x =   4 , será:

m   =   l i m Δ x   → 0 f ( x   +   Δ x )   -   f ( x ) Δ x   = l i m Δ x   → 0 2 4   + Δ x       -     2 4 Δ x   = l i m Δ x   → 0 2 4   + Δ x       -     4 Δ x    

Note que quando Δ x for a zero, teremos uma indeterminação do tipo 0 0 e para contornarmos esse problema, precisamos multiplicar o limite pelo fator 2 4   + Δ x       +     4 2 4   + Δ x       +     4 . Nesse caso, em x =   4 , temos

m   = l i m Δ x   → 0 2 4   + Δ x       -     2 4     Δ x ⋅ 2 4   + Δ x       +     4 2 4   + Δ x       +     4   =   l i m Δ x   → 0 4 ( 4   + Δ x )     -     4 ⋅ 4 Δ x ( 2 4   + Δ x       +     4 ) = l i m Δ x   → 0 4 Δ x   Δ x ( 2 4   + Δ x       +     4 ) = l i m Δ x   → 0 2   4   + Δ x       + 2

⇒ m = 2   4         + 2 = 1 2 ,   ( x = 4 )

Portanto, a inclinação da reta tangente em   ( 4,4 ) é igual a 1 2 e positiva.

Resposta

m   = 1 2