Nos Exercícios 15-24, utilize a definição por limite para determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado.

21. f(x) = x^3 - x; (2,6)

Passo 1

E aí, galera? Ainda lembram da teoria? A inclinação m de um gráfico é igual a inclinação da reta reta tangente ao ponto desejado. Então, lembrando da fórmula temos que:

m   =   l i m h   → 0 f ( x   +   h )   -   f ( x ) h ,

onde h é uma parâmetro que representa uma variação, podendo ser Δ x ou Δ y ou qualquer outra parâmetro que a função f contenha em seu domínio.

Logo, a inclinação da reta tangente de f ( x )   =   x 3   - x será:

m   =   l i m Δ x   → 0 f ( x   +   Δ x )   -   f ( x ) Δ x   = l i m Δ x   → 0 ( x   +   Δ x ) 3   -   x   -   Δ x     -   ( x 3   -   x ) Δ x   = l i m Δ x   → 0 ( x   +   Δ x ) 3   -   Δ x     -   x 3   Δ x    

Precisamos expandir os termos do numerador antes de tomarmos o limite, vamos lá?

⇒ ( x   +   Δ x ) 3   -   Δ x     -   x 3     =   x 3   +   3 x 2 Δ x   +   3 x Δ x 2   +   Δ x 3   -   Δ x   -   x 3   =  

= Δ x   [ 3 x 2     +   3 x Δ x   + Δ x 2   -   1 ]  

Substituindo em m , temos

m   = l i m Δ x   → 0 Δ x   [ 3 x 2     +   3 x Δ x   + Δ x 2   -   1 ] Δ x   = l i m Δ x   → 0 [ 3 x 2     +   3 x Δ x   + Δ x 2   - 1 ]   =   3 x 2     -   1

Passo 2

Agora que calculamos qual a inclinação da reta tangente de f , precisamos tomar o seu valor no ponto desejado. Sendo assim, em ( 2,6 ) temos que

m   =   3 x 2   - 1   ;   m ( x =   2 )   =   3 ⋅   ( 2 ) 2     - 1   =   3 ⋅   4   - 1   =   11 ,

ou seja, f possui uma inclinação positiva de valor igual a 11 no ponto ( 2,6 ) .

Resposta

m   =   11