Nos Exercícios 15-28, resolva as inequações e faça um esboço do gráfico da solução na reta real.

2 * x^2 - x < 6

Passo 1

Para obtermos a solução dessa inequação, precisamos reescrever de uma forma em que tenhamos uma inequação polinomial. Ou seja, ao subtrairmos ambos os lados por - 6 , teremos

2 x 2   - x     -   6   < 0  

Agora, buscaremos resolver a inequação polinomial do segundo grau para acharmos suas raízes (pontos para os quais os valores de x são zeros). Então, usando a regra de Bhaskara

  - ( - 1 )   ±   1   - 4 ⋅ 2 ⋅ ( - 6 ) 2 ⋅ 2   =   1   ±   7 4   ⇒ x   =   2     e x   =   - 3 / 2

Daí, a partir da fatoração, encontramos que as raízes desse polinômio são   x   =   2     e x   =   - 3 / 2 . Ou seja, 2 x 2   - x     -   6 = ( x   -   2 ) ( x + 3 2 )   . Assim, ficamos com a seguinte inequação

( x   -   2 ) ( x + 3 2 ) <   0

Passo 2

O próximo passo é testar o sinal do polinômio para cada intervalo possível:

x   <   - 3 / 2 ,   - 3 / 2   <   x <   2 , x   >   2 .

Para testarmos se o sinal é positivo ou negativo, devemos construir uma tabela para verificarmos o comportamento de ( x   -   2 ) ( x + 3 / 2 ) dentro desse intervalo. Então,

Portanto, observamos que, para valores em que x <   - 3 / 2 e x >   2 , a inequação não é válida, pois, o produto de um sinal negativo com outro sinal negativo é positivo e para o caso em que ambos são positivos, também. Ou seja, os valores para esses casos não obedecem <   0 (lado direito da inequação.

Outra forma de visualizar esse resultado é pelo gráfico abaixo, onde é plotado a inequação polinomial do passo 1 e observamos que a função só é negativa no intervalo (   - 3 / 2 ,   2 ) .

Passo 3

Portanto, o conjunto solução é o intervalo ( - 3 / 2   , 2 )   , onde o símbolo ) representa um intervalo aberto.

Passo 4

Seguindo a construção do passo 1 e as observações do passo 2 e aplicando os valores do conjunto solução, encontramos o seguinte gráfico

onde a bola vazia representa o intervalo aberto.

Resposta

( x   -   2 ) ( x + 3 / 2 )   <   0 e o conjunto solução é o intervalo ( - 3 / 2   , 2 )