Nos exercícios 1-8, determine o comprimento das curvas.
2.
Passo 1
Opaaa... tudo benzinho?
Nessa questão vamos precisar lembrar que, para o comprimento de uma curva paramétrica, usamos:
E também vamos precisar lembrar da fórmula de arco duplo do cosseno (é uma sacadona pra resolver a questão, heim)
Então bora lá...
Passo 2
Como:
Calculamos a derivada de em relação a :
E como:
Calculamos a derivada de em relação a :
Passo 3
Agora é “só” jogar tudo na fórmula:
Lembrando que:
Usando a fórmula de arco duplo:
Maaas, no nosso caso, (muuita atenção):
Substituindo:
MUUUITA atenção aqui, heim!? Nós não podemos só tirar a raiz e corta o quadrado. Lembra que:
Então ficamos com:
E nesse intervalo aí de até o cosseno é positivo de a e negativo de a . Então reescrevemos como:
Passo 4
Para resolver essa integral vamos usar a técnica de substituição simples.
Chamando:
Para os intervalos de integração tempos:
Substituindo na integral:
Resolvendo essa belezinha:
Nossaaa... essa deu um trabalhão, mas acabamos. Desanima não. Bebe uma água e vamos pra próxima.