Nos exercícios 1-8, determine o comprimento das curvas.

2. x = cos(t), y = t + sen(t), 0 ≤ t ≤ pi

Passo 1

Opaaa... tudo benzinho?

Nessa questão vamos precisar lembrar que, para o comprimento de uma curva paramétrica, usamos:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

E também vamos precisar lembrar da fórmula de arco duplo do cosseno (é uma sacadona pra resolver a questão, heim)

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Então bora lá...

Passo 2

Como:

x = cos ⁡ t

Calculamos a derivada de x em relação a t :

d x d t = - sen ⁡ t

E como:

y = t + sen ⁡ t

Calculamos a derivada de y em relação a t :

d y d t = 1 + cos ⁡ t

Passo 3

Agora é “só” jogar tudo na fórmula:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

L = ∫ 0 π - sen ⁡ t 2 + 1 + cos ⁡ t 2 d t

L = ∫ 0 π sen 2 ⁡ t + 1 + 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Lembrando que:

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

L = ∫ 0 π 1 + 1 + 2 cos ⁡ t d t  

L = ∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ t d t

L = ∫ 0 π 2 ( 1 + cos ⁡ t ) d t

Usando a fórmula de arco duplo:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Maaas, no nosso caso, θ = t 2 (muuita atenção):

cos 2 ⁡ t 2 = 1 + cos ⁡ t 2

1 + cos ⁡ t = 2 cos 2 ⁡ t 2

Substituindo:

L = ∫ 0 π 2 2 cos 2 ⁡ t 2 d t

L = ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ t 2   d t

MUUUITA atenção aqui, heim!? Nós não podemos só tirar a raiz e corta o quadrado. Lembra que:

x 2 = x

Então ficamos com:

L = ∫ 0 π 4 cos ⁡ t 2 d t

E nesse intervalo aí de 0 até π o cosseno é positivo de 0 a π 2 e negativo de π 2 a π . Então reescrevemos como:

L = ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ t 2 d t + ∫ π 2 π - 2 cos ⁡ t 2 d t

Passo 4

Para resolver essa integral vamos usar a técnica de substituição simples.

Chamando:

u = t 2

d u = d t 2

d t = 2 d u

Para os intervalos de integração tempos:

t = 0 → u = 0

t = π 2 → u = π 4

t = π → u = π

Substituindo na integral:

L = ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ u 2   d u + ∫ π 4 π 2 - 2 cos ⁡ u 2   d u

L = ∫ 0 π 4 4 cos ⁡ u d u + ∫ π 4 π 2 - 4 cos ⁡ u d u

Resolvendo essa belezinha:

L = 4 sen ⁡ u 0 π 4   + - 4 sen ⁡ u π 4 π 2

L = 4 sen ⁡ π 4 - 4 sen ⁡ 0 + - 4 sen ⁡ π 4 + 4 sen ⁡ π 2

L = 4 2 2 - 4 0 + - 4 2 2 + 4 1

L = 4

Nossaaa... essa deu um trabalhão, mas acabamos. Desanima não. Bebe uma água e vamos pra próxima.

Resposta

L = 4