Nos exercícios 1-8, determine o comprimento das curvas.

4. x = t^2, y = ((2t + 1)^(3/2)) / 3, 0 ≤ t ≤ 4

Passo 1

Eiii... belezinha?

Nessa questão vamos precisar lembrar que, para o comprimento de uma curva paramétrica, usamos:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

E lá vamos nós...

Passo 2

Como:

x = t 2 2

Calculamos a derivada de x em relação a t :

d x d t = t

E como:

y = 2 t + 1 3 2 3

Calculamos a derivada de y em relação a t : (pela regra da cadeia)

d y d t = 2 t + 1 1 2

Passo 3

Agora é “só” jogar tudo na fórmula:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

L = ∫ 0 4 t 2 + 2 t + 1 1 2 2 d t

L = ∫ 0 4 t 2 + 2 t + 1 d t

L = ∫ 0 4 t + 1 2 d t

Como o intervalo de t é todo positivo, de 0 a 4 , então podemos só tirar a raiz:

L = ∫ 0 4 ( t + 1 ) d t

E resolvendo a integral:

L = t 2 2 + t 0 4

L = 4 2 2 + 4 - 0 2 2 - 0

L = 12

Mais uma, heim!? Vamos pro próximo, então...

Resposta

L = 12