Nos exercícios 1-8, determine o comprimento das curvas.

5. x = (2t + 3)^(3/2) / 3, y = t + t^2 / 2, 0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Falaaaa...

Nessa questão vamos precisar lembrar que, para o comprimento de uma curva paramétrica, usamos:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Bora lá, então...

Passo 2

Como:

x = 2 t + 3 3 2 3

Calculamos a derivada de x em relação a t :

d x d t = 2 t + 3 1 2

E como:

y = t + t 2 2

Calculamos a derivada de y em relação a t : (pela regra da cadeia)

d y d t = 1 + t

Passo 3

Agora é “só” jogar tudo na fórmula:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

L = ∫ 0 3 2 t + 3 1 2 2 + 1 + t 2 d t

L = ∫ 0 3 2 t + 3 + t 2 + 2 t + 1 d t

L = ∫ 0 3 t 2 + 4 t + 4 d t

L = ∫ 0 3 t + 2 2 d t

Como o intervalo de t é todo positivo, de 0 a 3 , então podemos só tirar a raiz:

L = ∫ 0 3 ( t + 2 ) d t

E resolvendo a integral:

L = t 2 2 + 2 t 0 3

L = 3 2 2 + 2 ( 3 ) - 0 2 2 - 2 ( 0 )

L = 9 2 + 6

L = 21 2

Pontinho... Acabamos mais uma.

Resposta

L = 21 2