Nos exercícios 1-8, determine o comprimento das curvas.

3. x = t^3, y = 3 * t^2 / 2, 0 ≤ 1 ≤ raiz(3)

Passo 1

Falaaiii... tudo bão?

Nessa questão vamos precisar lembrar que, para o comprimento de uma curva paramétrica, usamos:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

E vambora fazendo...

Passo 2

Como:

x = t 3

Calculamos a derivada de x em relação a t :

d x d t = 3 t 2

E como:

y = 3 t 2 2

Calculamos a derivada de y em relação a t :

d y d t = 3 t

Passo 3

Agora é “só” jogar tudo na fórmula:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

L = ∫ 0 3 3 t 2 2 + 3 t 2 d t

L = ∫ 0 3 9 t 4 + 9 t 2 d t

L = ∫ 0 3 9 t 2 t 2 + 1 d t

L = ∫ 0 3 3 t t 2 + 1 d t

Passo 4

Pra resolver essa integral vamos usar substituição simples.

Chamando:

u = t 2 + 1

d u = 2 t   d t

t   d t = d u 2

E para o intervalo de integração:

t = 0 → u = 0 2 + 1 = 1

t = 3 → u = 3 2 + 1 = 4

Daí ficamos com:

L = ∫ 1 4 3 u d u 2

L = ∫ 1 4 3 2 u 1 2 d u

Resolvendo a integral:

L = 3 2 u 3 2 3 2 1 4

L = u 3 2 1 4

L = 4 3 2 - 1 3 2

L = 8 - 0

L = 8

Acabamos mais uma. Partiu pra próxima!

Resposta

L = 8