Nos exercícios 19-41, encontre a derivada.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Nesta questão usaremos duas regras para encontrar a derivada.

A primeira é a regra do quociente, sendo definida abaixo:

((f)/(g))^' = (f^' g - g ' f)/(g^2)

A segunda regra é a seguinte, vamos trocar a função de x que está no expoente de e por u e aplicar a regra abaixo para achar a derivada da função:

(d f (u))/(d x) = (d f)/(d u) . (d u)/(d x)

Onde, a derivada de um exponencial será o próprio exponencial multiplicado pela derivada da função que está no seu expoente. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é a seguinte:

f (x) = (e^(x^2))/(x)

Usando a regra da cadeia onde g = x e f = e^(x^2) .

f^' (x) = ((d)/(d x) (e^(x^2)) (x) - (d)/(d x) (x) ( e^(x^2) ))/(x^2)

f^' (x) = ((d)/(d x) (e^(x^2)) (x) - ( e^(x^2) ))/(x^2)

Usando a regra da cadeia que definimos no passo 1. Onde, u = x^2 .

f^' (x) = ((d)/(d u) (e^u) (d)/(d x) ( x^2 ) (x) - ( e^(x^2) ))/(x^2)

f^' (x) = (2 x^2 e^(x^2) - e^(x^2))/(x^2)

Resposta

f^' (x) = (2 x^2 e^(x^2) - e^(x^2))/(x^2)