Nos exercícios 19-41, encontre a derivada.

Passo 1

Falaaa, como vai?? Nesta questão usaremos duas regras para encontrar a derivada.

A primeira é a regra do produto, sendo definida abaixo:

(f g)^' = f^' g + f g '

A segunda regra é a seguinte, vamos trocar a função de x que está no expoente de e por u e aplicar a regra abaixo para achar a derivada da função:

(d f (u))/(d x) = (d f)/(d u) . (d u)/(d x)

Onde, a derivada de um exponencial será o próprio exponencial multiplicado pela derivada da função que está no seu expoente. Vamos para o exemplo!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos deu é a seguinte:

f (x) = x^2 e^(2 x)

Usando a regra do produto onde g = x^2 e f = e^(2 x) .

f^' (x) = (d)/(d x) (x^2) e^(2 x) + x^2 (d)/(d x) ( e^(2 x) )

f^' (x) = 2 x e^(2 x) + x^2 (d)/(d x) ( e^(2 x) )

Usando a regra da cadeia que definimos no passo 1. Onde, u = 2 x .

f^' (x) = 2 x e^(2 x) + x^2 (d)/(d u) (e^u) (d)/(d x) (2 x)

f^' (x) = 2 x e^(2 x) + 2 x^2 e^(2 x)

Resposta

f^' (x) = 2 x e^(2 x) + 2 x^2 e^(2 x)