Nos Exercícios 25-38, utilize a definição por limite para determinar a derivada da função.

36. f(t) = t^3 + t^2

Passo 1

Galera, para resolver essa questão basta aplicarmos a seguinte fórmula:

f ' ( t )   = d d t f ( t )   =   l i m a   → 0 f ( t   +   a )   -   f ( t ) a .

Para f ( t )   = t 3 + t 2 , temos que

f ' ( t )   =   l i m a   → 0 f ( t   +   a )   -   f ( t ) a   =   l i m a   → 0 ( t   +   a ) 3   + ( t + a ) 2   -   ( t 3 + t 2 ) a = l i m a   → 0 t 3   +   3 t 2 a   +   3 t a 2   +   a 3   + t 2 + 2 t a + a 2   -   t 3 - t 2 a

onde fatoramos os valores elevados a 2 e 3 usando binômio de Newton. Assim, ficamos com

f ' ( t )   = l i m a   → 0   3 t 2 a   +   3 t a 2   +   a 3   + 2 t a + a 2   a = l i m a   → 0   a ( 3 t 2   +   3 t a   +   a 2   + 2 t + a )   a = l i m a   → 0 ( 3 t 2   +   3 t a   +   a 2   + 2 t + a )

f ' ( t )   = 3 t 2   +   2 t

Resposta

f ' ( t )   =   3 t 2   +   2 t