Nos Exercícios 3-10, encontre todos os pontos críticos da função.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Precisamos encontrar os pontos críticos da função:

y   =   x x ² + 1

onde y=f(x).

Os pontos críticos da função estão nos pontos onde a derivada da função é igual a 0 ou é indefinida.

Passo 2

Diferenciando a função dada

d d x [ f ( x ) ]   =   d d x ( x x ² + 1 )

Por Regra do Quociente

d d x ( x x ² + 1 )   =   ( x ² + 1 ) d d x ( x ) - x d d x ( x ² + 1 ) ( x ² + 1 ) ²

Finalmente, pela Regra da Potência,

f ' ( x )   =   ( x ² + 1 ) ( 1 ) - x ( 2 x ) ( x ² + 11 ) ²   =   -   x ² - 1 ( x ² + 1 ) ²

Então, para encontrar os pontos críticos, encontre os valores de xxx onde a derivada f′(x) será indefinida ou igual a 0. A expressão - x ² - 1 ( x ² + 1 ) ² ​ nunca será indefinido, pois seu denominador ( x ² + 1 ) ² nunca será 0.

Além disso, será igual a 0 quando seu numerador (x²-1)for igual a 0. Igualando x²-1 a 0 e resolvendo para x, obtemos:

x ² - 1 = 0

( x - 1 ) ( x + 1 ) = 0

x   =   1   e   x   =   - 1

Portanto, os pontos críticos são x=1 e x=−1.

Resposta

Portanto, os pontos críticos são x=1 e x=−1.