Nos exercícios 32-34, as regiões são dadas em relação à hipérbole y^2 - x^2 = 1 na Figura 3. Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo x e também do eixo y .

A região destacada entre o ramo superior da hipérbole e o eixo x , para -c ≤ x ≤ c .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para encontrarmos o volume pelo método das arruelas usamos a fórmula:

V = π ∫ a b R 2 - r 2 d x

Onde R é a função que limita a parte superior e r a inferior.

Para a segunda parte da questão vamos usar o método das cascas:

V = 2 π ∫ a b ( r a i o ) ( a l t u r a ) d x

Onde a altura é f x - g ( x ) . E o raio, neste caso, será x .

Passo 2

Calculando em torno do eixo x .

O período foi dado pelo enunciado como [ - c ,   c ] .

A função que limita a parte superior é y = 1 + x 2 e a inferior y = 0 . Substituindo os valores definidos na fórmula.

V = π ∫ - c c 1 + x 2 2 - 0 2 d x

V = π ∫ - c c 1 + x 2 d x

V = 2 π c + c 3 3

Passo 3

Calculando em torno do eixo y .

Desta vez o período é [ 0 ,   c ] .

Usando o método das cascas.

V = 2 π ∫ 0 c x 1 + x 2 - 0 d x

V = 2 π ∫ 0 c x 1 + x 2 d x

V = 2 π 1 3 1 + c 2 3 2 - 1 3

V = 2 π 3 1 + c 2 3 / 2 - 1

Resposta

Em torno do eixo x . V = 2 π c + c 3 3

Em torno do eixo y . V = 2 π 3 1 + c 2 3 / 2 - 1