Nos exercícios 32-34, as regiões são dadas em relação à hipérbole y^2 - x^2 = 1 na Figura 3. Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo de x e também do eixo y .

A região entre o ramo superior da hipérbole e y = 2 .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Vamos deixar cada fórmula que vamos usar já definida.

Para encontrarmos o volume em torno do eixo x vamos usar:

V = 2 π ∫ a b r a i o ( a l t u r a ) d x

Para calcularmos o volume em torno de y usaremos:

W = π ∫ a b R 2 - r 2 d x

Vamos para a resolução agora!!

Passo 2

Primeiro passo para a resolução dos dois volumes é achar os pontos de intersecção.

1 + x 2 = 2

1 + x 2 = 4

x = ± 3

Então, os intervalos do volume são 0 ,   3 .

A altura para o volume em torno de x é 2 - 1 + x 2 . Como é em torno de x = 0 o raio é x .

V = 2 π ∫ 0 3 x 2 - 1 + x 2 d x

V = 2 π ∫ 0 3 2 x d x - 2 π ∫ 0 3 x 1 + x 2 d x

V = 4 π 3

Passo 3

No passo 2 já encontramos os pontos de intersecção, então basta substituirmos na fórmula para acharmos o volume em torno do eixo y .

V = π ∫ 0 3 2 2 - x 2 + 1 2 d x

V = π ∫ 0 3 3 - x 2 d x

V = 2 π 3

Resposta

Em torno de x . V = 4 π 3 .

Em torno de y . V = 2 π 3 .